Circunferencias

1. Definición

Lugar geométrico de los puntos del plano que están a distancia constante $r$ (radio) de un punto fijo $C = (a, b)$ (centro).

2. Ecuaciones

• Canónica: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
• General: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.

Conversión:

Si $a^2 + b^2 - F < 0$, la “circunferencia” no existe (radio imaginario).

3. Posición relativa de recta y circunferencia

Sustituye la ecuación de la recta en la circunferencia: te queda una cuadrática en una variable. Discriminante $\Delta$:

• $\Delta > 0$: secante (corta en 2 puntos).
• $\Delta = 0$: tangente (1 punto).
• $\Delta < 0$: exterior (no corta).

Alternativa más rápida con distancia: si $d(C, r)$ es la distancia del centro a la recta:

• $d < r$: secante.
• $d = r$: tangente.
• $d > r$: exterior.

4. Recta tangente en un punto $P$ de la circunferencia

La tangente es perpendicular al radio en ese punto. Pendiente del radio: $m_r$. Pendiente de la tangente: $-1/m_r$.

Ejemplo

Circunferencia $x^2 + y^2 = 25$, punto $P = (3, 4)$ (está en la circunferencia: $9 + 16 = 25$ ✅).

Pendiente del radio $OP$: $m_r = 4/3$. Pendiente tangente: $-3/4$.

Tangente: $y - 4 = -\dfrac{3}{4}(x - 3) \Rightarrow 3x + 4y = 25$.

Ejercicios