Polinomios: operaciones y factorización

1. Conceptos básicos

Un polinomio en $x$ es:

• Grado: mayor exponente con coeficiente no nulo.
• Raíz: valor $\alpha$ tal que $P(\alpha) = 0$.

2. Operaciones

• Suma/resta: sumar coeficientes del mismo grado.
• Producto: propiedad distributiva, todos contra todos.
• División entera: $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, con $\text{grado}(R) < \text{grado}(D)$.

3. Regla de Ruffini

Permite dividir $P(x)$ entre $(x - \alpha)$ rápidamente. Por ejemplo, dividir $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ entre $(x-1)$:

Cociente: $x^2 - 5x + 6$. Resto: $0$ → $1$ era raíz.

4. Teoremas clave

• Teorema del resto: el resto de dividir $P(x)$ entre $(x-\alpha)$ es $P(\alpha)$.
• Teorema del factor: $\alpha$ es raíz $\iff$ $(x-\alpha)$ es factor de $P(x)$.
• Raíces racionales: si $P$ tiene coeficientes enteros y $p/q$ es raíz racional irreducible, entonces $p | a_0$ y $q | a_n$.

5. Factorización en $\mathbb{R}$

Todo polinomio real se descompone en producto de:

• Factores lineales $(x - \alpha)$ por cada raíz real.
• Factores cuadráticos irreducibles $(x^2 + bx + c)$ con $\Delta < 0$.

Ejemplo completo

Factorizar $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.

Candidatas racionales: divisores de $-6$ → $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

$P(1) = 0$ ✅. Aplicamos Ruffini → $P(x) = (x-1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x-2)(x-3)$.

6. Identidades notables

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
• $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$

7. Fracciones algebraicas y descomposición en simples

Una fracción simple es $\dfrac{A}{(x-\alpha)^k}$ o $\dfrac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^k}$. Toda fracción $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ con $\text{grado}(P) < \text{grado}(Q)$ se escribe como suma de simples.

Ejemplo

Multiplicando: $1 = A(x-2) + B(x-1)$. Con $x=2$: $1 = B$. Con $x=1$: $1 = -A \Rightarrow A=-1$.

Ejercicios