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Tema 07 · Semana 9–10 núcleo
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Trigonometría

Ángulos, ondas y rotaciones

Razones trigonométricas, circunferencia goniométrica, identidades fundamentales, fórmulas del ángulo doble y suma. Resolución de triángulos. Ecuaciones trigonométricas.

Por qué importa

Gráficos por computador, audio, señales, rotaciones 3D, números complejos. Si haces videojuegos o ML, la usas.

En La Salle

Pieza obligatoria para Física I (ondas, vectores) y para complejos en forma polar en Álgebra.

Objetivos
  • Pasar entre grados y radianes sin pensar.
  • Memorizar las razones de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
  • Aplicar $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ y derivadas.
  • Resolver $\sin(2x) = 1/2$ y similares en $[0, 2\pi)$.
Antes de entrar
🧩 Fracciones, potencias y logaritmos ⭕ Circunferencias
Tu progreso · Trigonometría

1. Razones en el triángulo rectángulo

Para un ángulo agudo α\alpha:

sin⁡α=opuestohipotenusa,cos⁡α=contiguohipotenusa,tan⁡α=opuestocontiguo\sin\alpha = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}, \quad \cos\alpha = \dfrac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}, \quad \tan\alpha = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}

Inversas: cosecante, secante y cotangente.

2. Circunferencia goniométrica

En la circunferencia de radio 1 centrada en el origen, un ángulo α\alpha medido desde el eje X positivo define un punto (cos⁡α,sin⁡α)(\cos\alpha, \sin\alpha).

Esto extiende las razones a cualquier ángulo (positivo o negativo, mayor que 360°360°).

Demo · circunferencia goniométrica
45°cossin
sin
0.7071
cos
0.7071
tan
1.0000
sin² + cos²
1.0000

3. Grados y radianes

180°=π rad,1°=π180 rad180° = \pi \text{ rad}, \quad 1° = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}

Tabla obligatoria:

α\alpha00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
sin⁡\sin0012\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}11
cos⁡\cos1132\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}00
tan⁡\tan0033\dfrac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}∞\infty

4. Identidades fundamentales

  • Pitagórica: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.
  • 1+tan⁡2α=sec⁡2α1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha.
  • 1+cot⁡2α=csc⁡2α1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha.
Demo · plotter de funciones
Sintaxis: x^2, sin(x), log(x) (natural), sqrt(x), abs(x), e, pi.

5. Ángulo doble y suma

sin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha cos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta

6. Resolución de triángulos

  • Teorema del seno: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R.
  • Teorema del coseno: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A.

7. Ecuaciones trigonométricas

Estrategia: reducir a una sola razón con identidades, sustituir y resolver. Recordar periodicidad: las soluciones se repiten cada 2π2\pi (o π\pi para tangente).

Ejemplo

2sin⁡2x=12 \sin^2 x = 1 en [0,2π)[0, 2\pi):

sin⁡2x=1/2⇒sin⁡x=±22\sin^2 x = 1/2 \Rightarrow \sin x = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Soluciones: x=π4,3π4,5π4,7π4x = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}.

ℹ️Por qué importa

En programación gráfica, (cos⁡t,sin⁡t)(\cos t, \sin t) recorre la circunferencia unidad cuando tt va de 00 a 2π2\pi. Es la base de todas las animaciones rotatorias.

Ejercicios

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Ejercicio · interactivo
Calcula sin(75°)\\sin(75°) (decimal). Usa el demo de arriba para verificar.
✏️
Ejercicio · interactivo
Si cos(alpha)=3/5\\cos(\\alpha) = 3/5 y alpha\\alpha está en el primer cuadrante, ¿cuánto vale sin(alpha)\\sin(\\alpha)?
✏️
Ejercicio · interactivo
Triángulo: a=7a=7, b=5b=5, C=60°C=60°. Halla cc (decimal).