Fracciones, potencias y logaritmos

1. Fracciones — la operación que no perdona

Una fracción $\dfrac{a}{b}$ con $b \neq 0$ representa una división. Las cuatro reglas de oro:

Suma/resta: denominador común. $\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}$
Producto: numerador por numerador, denominador por denominador.
División: se multiplica por la inversa. $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$
Simplifica siempre al final. Mantener fracciones irreducibles ahorra errores en cadena.

💡Truco

Truco mental: ante una división de fracciones, escribe el “sándwich” $\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ y multiplica extremos arriba, medios abajo. Resultado: $\dfrac{ad}{bc}$ .

Ejemplo guiado

\frac{2}{3} + \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}

Demo · suma de fracciones

1 / 2

1 / 3

simplificado: 5/6

2. Potencias — exponentes con identidad

$a^n$ significa multiplicar $a$ por sí mismo $n$ veces. Las propiedades se demuestran solas si recuerdas la definición.

Propiedad	Fórmula
Producto, misma base	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Cociente, misma base	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Potencia de potencia	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Producto, mismo exponente	$a^n \cdot b^n = (ab)^n$
Exponente cero	$a^0 = 1$ (con $a \neq 0$ )
Exponente negativo	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Exponente racional	$a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$

Ejemplo guiado

\frac{(2^3)^2 \cdot 2^{-4}}{2^5} = \frac{2^{6} \cdot 2^{-4}}{2^5} = \frac{2^{2}}{2^5} = 2^{-3} = \frac{1}{8}

3. Logaritmos — la operación inversa de la potencia

Por definición:

\log_a x = y \;\Longleftrightarrow\; a^y = x

con $a > 0$ , $a \neq 1$ , $x > 0$ .

Propiedades clave:

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
$\log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
$\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$
Cambio de base: $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$
$\log_a 1 = 0$ , $\log_a a = 1$

ℹ️Por qué importa

En programación, $\log_2 n$ es el número de veces que puedes dividir un conjunto por la mitad. Por eso búsquedas binarias y árboles balanceados son $O(\log n)$ .

Demo · exponencial vs logaritmo

Base $a$ = 2.00

🔍 La curva rosa es y = 2.00^x. La azul es y = log_2.00(x). Son simétricas respecto a y = x porque son funciones inversas.

Ejemplo guiado

Resolver $\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3$ .

\log_2(x(x-2)) = 3 \Rightarrow x(x-2) = 2^3 = 8

x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4 \text{ o } x = -2

Descartamos $x=-2$ (logaritmo no definido). Solución: $x = 4$ .

Ejercicios

✏️

Ejercicio · interactivo

Calcula

\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{2}

Tu respuesta:

✏️

Ejercicio · interactivo

Calcula

\\log_2(8) + \\log_2(4)

Tu respuesta:

✏️

Ejercicio · interactivo

Resuelve

3^{x+1} = 81

. Introduce el valor de

x

Tu respuesta:

✏️

Ejercicio · interactivo

Resuelve

\\log_3(x+6) - \\log_3(x) = 2

. Introduce el valor de

x

Tu respuesta:

✏️

Ejercicio

Simplifica

\\dfrac{(x^2 y)^3 \\cdot x^{-1}}{x^2 y^4}