Teoría general de funciones

1. ¿Qué es una función?

Relación que asigna a cada $x$ del dominio un único $y$ del codominio. Notación $f: A \to B$, $x \mapsto f(x)$.

2. Dominio

Conjunto de $x$ donde la fórmula tiene sentido. Vetos clásicos:

• Denominador = 0 → fuera.
• Argumento de raíz par < 0 → fuera.
• Argumento de logaritmo $\leq 0$ → fuera.

Ejemplo

$f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}$. Necesitamos $x - 1 \geq 0$ y $x - 3 \neq 0$. Dominio: $[1, 3) \cup (3, +\infty)$.

3. Recorrido (imagen)

Conjunto de valores $y$ que efectivamente toma $f$. Más difícil que el dominio. Atajo: estudiar máximos/mínimos y comportamiento en infinito.

4. Continuidad

$f$ es continua en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Tipos de discontinuidad:

• Evitable: existe el límite pero no coincide con $f(x_0)$ (o $f(x_0)$ no está definida).
• De salto finito: límites laterales distintos pero finitos.
• Esencial (asintótica): algún límite lateral es $\pm\infty$.

5. Asíntotas

• Vertical en $x = a$: $\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty$.
• Horizontal en $y = L$: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.
• Oblicua $y = mx + n$: $m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ y $n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx)$.

6. Paridad

• Par si $f(-x) = f(x)$ (simetría respecto al eje Y).
• Impar si $f(-x) = -f(x)$ (simetría respecto al origen).

7. Monotonía y extremos (avance)

Se estudia con la derivada en el módulo 10. De forma intuitiva:

• $f$ creciente si $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
• Máximo/mínimo absoluto/local: se ve con los signos de la derivada.

8. Composición e inversa

• Composición: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. ¡No es conmutativa!
• Inversa: existe si $f$ es biyectiva. $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Ejemplo

$f(x) = 2x + 3$. Despejamos $x$ en función de $y$: $x = \dfrac{y - 3}{2}$. Por lo tanto $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 3}{2}$.

Ejercicios