Ecuaciones y sistemas

1. Ecuaciones de primer grado

$ax + b = 0 \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{b}{a}$

Reglas: lo que está sumando pasa restando, lo que multiplica pasa dividiendo. Si aparecen denominadores, multiplica toda la ecuación por el m.c.m. y olvídate.

2. Ecuaciones de segundo grado

$ax^2 + bx + c = 0$

Fórmula general:

El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ te dice todo:

• $\Delta > 0$ → dos soluciones reales distintas.
• $\Delta = 0$ → una solución doble.
• $\Delta < 0$ → ninguna real (dos complejas conjugadas).

Ecuaciones bicuadradas

$ax^4 + bx^2 + c = 0$. Sustituye $t = x^2$, resuelves cuadrática en $t$, y vuelves: $x = \pm\sqrt{t}$.

3. Ecuaciones racionales e irracionales

• Racionales: multiplica por el m.c.m. de denominadores. Verifica que las soluciones no anulen el denominador original.
• Irracionales (raíces): aísla una raíz, eleva al cuadrado, simplifica, repite si hace falta. Comprueba siempre las soluciones: elevar al cuadrado introduce extrañas.

Ejemplo

$\sqrt{x+3} = x - 3$

Elevamos: $x+3 = x^2 - 6x + 9 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1, 6$.

Comprobamos: $x=1 \Rightarrow \sqrt{4}=−2$ ❌. $x=6 \Rightarrow \sqrt{9}=3$ ✅. Solución: $x=6$.

4. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

• Exponenciales: iguala bases o aplica logaritmos a ambos lados.
• Logarítmicas: junta logaritmos con propiedades hasta tener $\log_a A = \log_a B$, deduce $A=B$. Comprueba que los argumentos sean positivos.

5. Sistemas de ecuaciones lineales

Métodos clásicos (2x2)

• Sustitución: despeja una variable y sustituye.
• Igualación: despeja la misma variable en ambas y las iguala.
• Reducción: combina linealmente para que una variable se vaya.

Método de Gauss (3x3)

Escribes la matriz ampliada:

Por operaciones elementales (intercambiar filas, multiplicar fila por escalar no nulo, sumar a una fila otra multiplicada) llegas a forma triangular y resuelves de abajo a arriba.

Ejercicios