Funciones básicas · Mates La Salle

1. El zoológico mínimo

Memorízalas como tu cara en el espejo:

Función	Dominio	Recorrido	Forma
$f(x) = x$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	Recta diagonal.
$f(x) = x^2$	$\mathbb{R}$	$[0, \infty)$	Parábola.
$f(x) = x^3$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	Cúbica, simétrica al origen.
$f(x) = 1/x$	$\mathbb{R}\setminus\{0\}$	$\mathbb{R}\setminus\{0\}$	Hipérbola.
$f(x) = \sqrt{x}$	$[0, \infty)$	$[0, \infty)$	Raíz, lenta y monótona.
$f(x) = e^x$	$\mathbb{R}$	$(0, \infty)$	Exponencial creciente.
$f(x) = \ln x$	$(0, \infty)$	$\mathbb{R}$	Logaritmo neperiano.
$f(x) = \sin x$	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	Onda, periodo $2\pi$ .
$f(x) = \cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	Onda desplazada $\pi/2$ .
$f(x) = \tan x$	$\mathbb{R}\setminus\{\pi/2 + k\pi\}$	$\mathbb{R}$	Asíntotas verticales.

Si conoces $y = f(x)$ , sabes graficar variaciones sin pensar:

Transformación	Efecto
$f(x) + k$	Sube $k$ unidades.
$f(x - h)$	Desplaza $h$ a la derecha.
$a \cdot f(x)$	Estira vertical (factor $a$ ).
$f(b \cdot x)$	Comprime horizontal (factor $1/b$ ).
$-f(x)$	Refleja respecto a eje X.
$f(-x)$	Refleja respecto a eje Y.

$y = -2(x-1)^2 + 3$ es una parábola estándar reflejada hacia abajo, estirada por 2, desplazada $(1, 3)$ .

Demo · transformaciones

g(x) = 1.00 · f(1.00(x − 0.00)) + 0.00

a (escala vertical)1.00

b (escala horiz.)1.00

h (desplaz. x)0.00

k (desplaz. y)0.00

f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2x & \text{si } 0 \leq x \leq 3 \\ x + 3 & \text{si } x > 3 \end{cases}

Para que sea continua: los límites laterales en los puntos de cambio deben coincidir.

💡Truco

Sé impecable con los signos $\leq$ y $<$ . En la frontera, solo una rama está definida.

✏️

Ejercicio · interactivo

f(x) = \\begin{cases} ax + 2 & x \\leq 1 \\\\ x^2 + 1 & x > 1 \\end{cases}

. ¿Para qué

a

es continua en

x=1

Tu respuesta:

✏️

Ejercicio · interactivo

g(x) = (x+2)^2 - 5

. ¿Cuál es la coordenada

x

del vértice (mínimo)?

Tu respuesta:

✏️

Ejercicio · interactivo

Misma

g

: ¿valor mínimo de

g

Tu respuesta: