Parábolas

1. Definición

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (foco $F$) y de una recta fija (directriz $d$).

2. Formas

• Forma estándar: $y = ax^2 + bx + c$.
• Forma canónica (vértice): $y = a(x - h)^2 + k$, con vértice $V = (h, k)$.

Relación entre ambas:

El signo de $a$:

• $a > 0$ → parábola hacia arriba (mínimo en V).
• $a < 0$ → parábola hacia abajo (máximo en V).

3. Eje, foco y directriz

Para $y = a(x-h)^2 + k$:

• Eje de simetría: $x = h$.
• Foco: $F = \left(h, \; k + \dfrac{1}{4a}\right)$.
• Directriz: $y = k - \dfrac{1}{4a}$.

4. Cortes con los ejes

• Con el eje Y: hacer $x=0$ → punto $(0, c)$.
• Con el eje X: resolver $ax^2 + bx + c = 0$ → 0, 1 o 2 puntos según $\Delta$.

5. De estándar a canónica: completar cuadrados

Ejemplo

$y = x^2 - 6x + 5$.

Vértice $V = (3, -4)$. Eje $x = 3$. Cortes con X: $(x-3)^2 = 4 \Rightarrow x = 1, 5$.

Ejercicios