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Tema 10 · Semana 13–15 avanzado
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Derivación

La pendiente instantánea

Definición por límite, tabla de derivadas, regla de la cadena, producto, cociente, derivación implícita. Aplicaciones: monotonía, extremos, concavidad, optimización, l'Hôpital.

Por qué importa

Es el lenguaje del cambio. Gradient descent, backprop, control de robots, física de juegos: todo es derivar.

En La Salle

Cálculo I dedica medio cuatrimestre. Entrar con derivadas dominadas es entrar a velocidad de crucero.

Objetivos
  • Saberse la tabla de derivadas de carrerilla.
  • Aplicar la regla de la cadena en composiciones de 3 funciones.
  • Encontrar extremos relativos y puntos de inflexión.
  • Resolver problemas de optimización (caja, rectángulo inscrito, etc.).
Antes de entrar
🌀 Trigonometría 🧭 Teoría general de funciones 🦓 Funciones básicas
Tu progreso · Derivación

1. Definición

La derivada de ff en x0x_0 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto:

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Si el límite existe, ff es derivable en x0x_0. Toda función derivable es continua (la recíproca no).

Demo · derivada como pendiente
Pendiente en x₀: f'(1.00) ≈ 0.000

2. Tabla esencial

f(x)f(x)f′(x)f'(x)
kk (constante)00
xnx^nnxn−1n x^{n-1}
exe^xexe^x
axa^xaxln⁡aa^x \ln a
ln⁡x\ln x1/x1/x
log⁡ax\log_a x1/(xln⁡a)1/(x \ln a)
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
tan⁡x\tan x1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x
arcsin⁡x\arcsin x1/1−x21/\sqrt{1 - x^2}
arctan⁡x\arctan x1/(1+x2)1/(1 + x^2)

3. Reglas de derivación

  • Suma: (f+g)′=f′+g′(f+g)' = f' + g'.
  • Producto: (f⋅g)′=f′g+fg′(f \cdot g)' = f'g + fg'.
  • Cociente: (fg)′=f′g−fg′g2\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}.
  • Cadena: (f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).

Ejemplo: cadena

y=sin⁡(3x2+1)y = \sin(3x^2 + 1). Llamamos u=3x2+1u = 3x^2 + 1.

y′=cos⁡(u)⋅u′=cos⁡(3x2+1)⋅6xy' = \cos(u) \cdot u' = \cos(3x^2 + 1) \cdot 6x

4. Aplicaciones

Monotonía

  • f′(x)>0f'(x) > 0 → ff crece.
  • f′(x)<0f'(x) < 0 → ff decrece.

Extremos

Puntos críticos: f′(x)=0f'(x) = 0 o f′f' no existe. Para clasificar:

  • Cambio de signo de f′f': −- a ++ → mínimo; ++ a −- → máximo.
  • O bien: f′′(x0)>0f''(x_0) > 0 → mínimo, f′′(x0)<0f''(x_0) < 0 → máximo.

Concavidad

  • f′′(x)>0f''(x) > 0 → cóncava hacia arriba (forma de copa).
  • f′′(x)<0f''(x) < 0 → cóncava hacia abajo (forma de gorro).
  • Punto de inflexión: cambia la concavidad.

Optimización (problemas de máximos/mínimos)

  1. Modelar la cantidad a optimizar como función de una sola variable.
  2. Derivar e igualar a cero.
  3. Comprobar que es máximo o mínimo (segunda derivada o estudio de signos).

Regla de l’Hôpital

Para indeterminaciones 0/00/0 o ∞/∞\infty/\infty:

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}

si el segundo límite existe.

ℹ️Por qué importa

En programación: el descenso de gradiente que entrena redes neuronales literalmente sigue −∇f-\nabla f, una versión multivariable de “ir contra la pendiente”. La derivada es el lenguaje del aprendizaje.

Ejercicios

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Ejercicio · interactivo
Si f(x)=(x2+1)exf(x) = (x^2 + 1) e^x, ¿cuánto vale f′(0)f'(0)?
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Ejercicio · interactivo
Para f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4, ¿en qué valores de xx están los extremos? (lista los dos)
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Ejercicio · interactivo
Calcula limxto0dfracsinxx\\lim_{x \\to 0} \\dfrac{\\sin x}{x} por l'Hôpital (resultado decimal).
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Ejercicio · interactivo
¿Cuál es la pendiente de la tangente a f(x)=x2lnxf(x) = x^2 \\ln x en x=1x=1? Verifica con el demo.