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Tema 11 · Semana 16–18 avanzado
∫

Integral inmediata, por partes y áreas

Sumar infinitas rebanadas

Primitivas inmediatas, cambio de variable, integración por partes, fracciones simples (puente con polinomios). Integral definida, regla de Barrow, área entre curvas.

Por qué importa

Probabilidad continua, valor esperado, energía, señales, área bajo curvas ROC. Sin integrales no hay estadística ni ML serio.

En La Salle

Pieza final de Cálculo I y entrada para Cálculo II y Probabilidad.

Objetivos
  • Reconocer integrales inmediatas por patrón.
  • Aplicar partes con la regla "ALPES" sin dudar.
  • Calcular el área entre dos curvas.
  • Ligar integral definida con primitiva vía Barrow.
Antes de entrar
🧱 Polinomios: operaciones y factorización 📈 Derivación
Tu progreso · Integral inmediata, por partes y áreas

1. Primitiva e integral indefinida

FF es primitiva de ff si F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). La integral indefinida es el conjunto de todas:

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) \, dx = F(x) + C

2. Tabla de integrales inmediatas

∫f(x) dx\int f(x) \, dx=F(x)+C= F(x) + C
∫xn dx\int x^n \, dx (n≠−1n \neq -1)xn+1n+1+C\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C
∫1x dx\int \dfrac{1}{x} \, dxln⁡∥x∥+C\ln\|x\| + C
∫ex dx\int e^x \, dxex+Ce^x + C
∫ax dx\int a^x \, dxaxln⁡a+C\dfrac{a^x}{\ln a} + C
∫sin⁡x dx\int \sin x \, dx−cos⁡x+C-\cos x + C
∫cos⁡x dx\int \cos x \, dxsin⁡x+C\sin x + C
∫sec⁡2x dx\int \sec^2 x \, dxtan⁡x+C\tan x + C
∫11+x2 dx\int \dfrac{1}{1 + x^2} \, dxarctan⁡x+C\arctan x + C
∫11−x2 dx\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dxarcsin⁡x+C\arcsin x + C

3. Cambio de variable (sustitución)

Si u=g(x)u = g(x), entonces du=g′(x) dxdu = g'(x) \, dx. Sustituyes y conviertes la integral en una más simple.

Ejemplo

∫2x⋅cos⁡(x2) dx\int 2x \cdot \cos(x^2) \, dx.

Sea u=x2u = x^2, du=2x dxdu = 2x \, dx. Queda ∫cos⁡u du=sin⁡u+C=sin⁡(x2)+C\int \cos u \, du = \sin u + C = \sin(x^2) + C.

4. Integración por partes

∫u dv=u⋅v−∫v du\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du

Regla mnemotécnica para elegir uu — ALPES:

  1. Arco (arcsin, arctan…)
  2. Logaritmo
  3. Polinomio
  4. Exponencial
  5. Seno/coseno

Lo que esté arriba en la lista, ese eliges como uu.

Ejemplo

∫x⋅ex dx\int x \cdot e^x \, dx. Polinomio (P) sobre Exponencial (E) → u=xu = x, dv=exdxdv = e^x dx.

du=dxdu = dx, v=exv = e^x.

∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex+C=(x−1)ex+C\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = (x-1) e^x + C
Demo · integral como suma de rectángulos
Suma de Riemann (punto medio): ∫ ≈ 2.0021 · sube N para acercarte al valor real.

5. Integral definida y regla de Barrow

Si FF es primitiva de ff continua en [a,b][a,b]:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

Geométricamente, es el área con signo entre la curva y el eje X.

6. Cálculo de áreas

Entre curva y eje X

A=∫ab∣f(x)∣ dxA = \int_a^b |f(x)| \, dx

Si ff cambia de signo, hay que partir la integral en los ceros.

Entre dos curvas ff (arriba) y gg (abajo)

A=∫ab(f(x)−g(x)) dxA = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx

donde aa, bb son las intersecciones (resuelve f(x)=g(x)f(x) = g(x)).

Ejemplo

Área entre f(x)=xf(x) = x y g(x)=x2g(x) = x^2 en [0,1][0, 1].

Cortes: x=x2⇒x(x−1)=0⇒x=0,1x = x^2 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0, 1. En (0,1)(0,1), x>x2x > x^2.

A=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16A = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}
ℹ️Por qué importa

La integral es la herramienta más usada en estadística (probabilidad continua), física (energía, trabajo) y machine learning (función de pérdida acumulada). Si dominas Barrow + ALPES + áreas, llegas con ventaja a Cálculo II.

Ejercicios

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Ejercicio · interactivo
Calcula int0pisinx,dx\\int_0^{\\pi} \\sin x \\, dx. (verifica subiendo NN en el demo)
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Ejercicio · interactivo
Calcula int01(3x2−4x+1),dx\\int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \\, dx.
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Ejercicio · interactivo
intxsinx,dx\\int x \\sin x \\, dx. Por partes con u=xu=x, dv=sinx,dxdv = \\sin x\\, dx. ¿Cuánto vale el resultado en x=pix=\\pi (sin la CC)?
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Ejercicio · interactivo
Área entre y=x2y = x^2 e y=4y = 4 (decimal).