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Tema 03 · Semana 4 núcleo
📏

Ecuación de la recta

La función más honesta

Forma explícita, punto-pendiente, general y continua. Pendiente, ordenada en el origen, paralelismo y perpendicularidad. Distancia punto-recta.

Por qué importa

Vectores, gráficos, regresión lineal, shaders, colisiones 2D... la recta es un ladrillo universal.

En La Salle

Aparece en Álgebra (vectores en R²) y en Física I (cinemática rectilínea).

Objetivos
  • Saltar entre las cuatro formas de una recta sin dudar.
  • Calcular pendiente desde dos puntos o desde un ángulo.
  • Decidir paralelismo/perpendicularidad por pendientes.
  • Hallar la distancia de un punto a una recta.
Antes de entrar
⚖️ Ecuaciones y sistemas
Tu progreso · Ecuación de la recta

1. ¿Qué es la recta?

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican una relación lineal Ax+By+C=0Ax + By + C = 0. Tiene dirección constante (su pendiente no cambia).

2. Las cuatro formas

FormaExpresiónCuándo usarla
Explícitay=mx+ny = mx + nQuieres ver pendiente y ordenada de un vistazo.
Punto-pendientey−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)Conoces un punto y la pendiente.
General (implícita)Ax+By+C=0Ax + By + C = 0Para condiciones de paralelismo/perpendicularidad o distancia.
Continuax−x0v1=y−y0v2\dfrac{x - x_0}{v_1} = \dfrac{y - y_0}{v_2}Conoces un punto y un vector director (v1,v2)(v_1, v_2).
Demo · arrastra los puntos
A
(-3, -1)
B
(3, 2)
Recta
y = 0.50x + 0.50

3. Pendiente

  • Desde dos puntos: m=y2−y1x2−x1m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
  • Desde un ángulo α\alpha con el eje X: m=tan⁡(α)m = \tan(\alpha).

4. Posición relativa de dos rectas

Dadas r1:y=m1x+n1r_1: y = m_1 x + n_1 y r2:y=m2x+n2r_2: y = m_2 x + n_2:

  • Paralelas: m1=m2m_1 = m_2 y n1≠n2n_1 \neq n_2.
  • Coincidentes: m1=m2m_1 = m_2 y n1=n2n_1 = n_2.
  • Perpendiculares: m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1.
  • Secantes (genérico): m1≠m2m_1 \neq m_2 → se cortan en un punto.
💡Truco

Memoriza: paralelismo = misma pendiente, perpendicularidad = pendientes inversas y opuestas. La regla "m1m2=−1m_1 m_2 = -1" falla si una recta es vertical; en ese caso la perpendicular es horizontal.

5. Distancia de un punto a una recta

Para r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 y P=(x0,y0)P = (x_0, y_0):

d(P,r)=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d(P, r) = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Ejemplo

Recta r:3x−4y+5=0r: 3x - 4y + 5 = 0, punto P=(1,2)P = (1, 2):

d=∣3⋅1−4⋅2+5∣9+16=∣0∣5=0d = \dfrac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{|0|}{5} = 0

→ El punto está sobre la recta. Comprueba: 3(1)−4(2)+5=03(1) - 4(2) + 5 = 0. ✅

Ejercicios

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Ejercicio · interactivo
¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por A=(2,1)A=(2,1) y B=(6,9)B=(6,9)?
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Ejercicio · interactivo
Misma recta. ¿Cuál es su ordenada en el origen nn (y=mx+ny = mx + n)?
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Ejercicio · interactivo
Para que y=3x+1y = 3x + 1 e y=mx+4y = mx + 4 sean perpendiculares, ¿cuánto debe valer mm?
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Ejercicio · interactivo
Distancia del punto (3,−1)(3, -1) a la recta 4x+3y−2=04x + 3y - 2 = 0.